Encadrer $\ln 2$ comme les géomètres

Encadrer $\ln 2$ comme les géomètres. On pose $A(2)={\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}$, qui vaut $\ln 2$ d'après le cours. On partage $[1;2]$ en quatre bandes de largeur $0,25$.

• Calculer la somme des aires des rectangles construits sur le bord gauche de chaque bande, puis sur le bord droit. Lequel des deux est un minorant de $A(2)$ ? Pourquoi ?
• En déduire un encadrement de $\ln 2$, puis de $\ln 4$ et $\ln 8$, sans nouveau calcul d'aire.
• La moyenne des deux sommes est la méthode des trapèzes. Est-elle par excès ou par défaut ? Justifier à l'aide de la convexité de $t\mapsto \frac{1}{t}$.