Le nombre e sous l'hyperbole

Le nombre

e

sous l'hyperbole

Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme · L'aire sous l'hyperbole · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le nombre $e$ sous l'hyperbole. On pose $A (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ pour $x > 0$ ; on sait que $A = ln$ .

Soit $x > 1$ . En comparant $\frac{1}{t}$ à $\frac{1}{x}$ et à $1$ sur $[1; x]$ , montrer que

$1 - \frac{1}{x} \leq ln x \leq x - 1.$

Interpréter géométriquement les deux bornes.

On applique cet encadrement à $x = 1 + \frac{1}{n}$ , $n$ entier strictement positif. Montrer que $\frac{1}{n + 1} \leq ln (1 + \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$ .
En déduire que $(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq e \leq (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ .
Calculer les deux bornes pour $n = 10$ et $n = 100$ . Quel lien avec les intérêts composés du thème 2 ?

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.