Multiplier avant les logarithmes — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 13)

Multiplier avant les logarithmes

Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme · niveau 1 (application)

Énoncé

Multiplier avant les logarithmes.

Un astronome de $1600$ dispose d'une table de sinus et de cosinus à cinq décimales, où il lit

$sin 3 7^{\circ} = 0, 60182, sin 6 4^{\circ} = 0, 89879, cos 2 7^{\circ} = 0, 89101, cos 10 1^{\circ} = - 0, 19081.$

Établir la formule de prosthaphérèse $sin a sin b = \frac{cos ( a - b ) - cos ( a + b )}{2}$ .
S'en servir pour calculer $sin 3 7^{\circ} \times sin 6 4^{\circ}$ sans poser de multiplication.
Comparer au produit posé.
Quel travail le procédé économise-t-il exactement ? Que ne sait-il pas faire ?

$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b, cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b .$

En les soustrayant membre à membre, les termes $cos a cos b$ disparaissent :

$cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sin a sin b,$

d'où la formule annoncée.

Le calcul de l'astronome. Avec $a = 6 4^{\circ}$ et $b = 3 7^{\circ}$ : $a - b = 2 7^{\circ}$ et $a + b = 10 1^{\circ}$ , donc

$sin 3 7^{\circ} sin 6 4^{\circ} = \frac{0 , 89101 - ( - 0 , 19081 )}{2} = \frac{1 , 08182}{2} = 0, 54091.$

Une soustraction dans la table des angles, une lecture, une addition, une division par $2$ : aucun produit.

Contrôle. Le produit posé donne $0, 60182 \times 0, 89879 = 0, 5409098$ , soit $0, 54091$ après arrondi à cinq décimales. Les deux voies s'accordent.
Bilan. Le procédé remplace un produit de deux nombres à cinq chiffres — vingt-cinq produits de chiffres et leurs retenues — par deux additions d'angles et une demi-somme. Mais il exige que les deux facteurs soient lisibles comme des sinus, donc compris entre $- 1$ et $1$ ; et il ne dit rien des divisions ni des racines.

C'est exactement le manque que Napier comblera : une fonction qui transforme les quatre opérations, sur tous les nombres positifs.