Le relevé du géomètre — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 14)

Le relevé du géomètre

Thème 4 — Calculs d'aires · niveau 1 (application)

Énoncé

Le relevé du géomètre.

Une parcelle est bordée au sud par une route rectiligne de $200$ m et au nord par une rivière. Le géomètre mesure la profondeur de la parcelle, perpendiculairement à la route, tous les $25$ m.

$x$ (m)	$0$	$25$	$50$	$75$	$100$	$125$	$150$	$175$	$200$
profondeur (m)	$32$	$41$	$47$	$50$	$46$	$39$	$35$	$38$	$44$

Estimer l'aire de la parcelle par la méthode des trapèzes.
Calculer les sommes de rectangles à gauche et à droite. Que constate-t-on en faisant leur moyenne ?
Un élève écrit « $25 \times (32 + 41 + \dots + 44)$ ». De combien se trompe-t-il, et pourquoi ?
La parcelle est vendue $4, 20$ euros le mètre carré. Donner le prix, avec un nombre de chiffres raisonnable.
Peut-on affirmer que le résultat de la question 1 est un majorant, ou un minorant ?

Corrigé

Trapèzes. La somme des neuf profondeurs vaut $32 + 41 + 47 + 50 + 46 + 39 + 35 + 38 + 44 = 372$ . La formule des trapèzes compte les deux profondeurs extrêmes pour moitié :

$A \approx 25 \times (372 - \frac{32 + 44}{2}) = 25 \times 334 = 8350 m^{2} .$

Rectangles. À gauche, on ignore la dernière profondeur ; à droite, la première :

$S_{g} = 25 \times (372 - 44) = 8200, S_{d} = 25 \times (372 - 32) = 8 500.$

Leur moyenne vaut $\frac{8 200 + 8 500}{2} = 8350$ : c'est exactement la somme des trapèzes. Ce n'est pas un hasard, le chapitre 7 l'avait établi — l'aire d'un trapèze est la moyenne des aires des deux rectangles bâtis sur ses deux bases.

L'erreur classique. $25 \times 372 = 9300$ m $^{2}$ , soit $950$ m $^{2}$ de trop, c'est-à-dire $11, 4 %$ . L'élève a compté neuf tranches là où il n'y en a que huit : entre neuf piquets espacés de $25$ m, il y a huit intervalles, et $8 \times 25 = 200$ m. Les deux profondeurs des extrémités n'appartiennent chacune qu'à une seule tranche, d'où leur demi-poids.
Prix. $8350 \times 4, 20 = 35070$ euros. Les profondeurs sont données au mètre près, soit $2 %$ environ sur chacune : on annoncera $35000$ euros, et non $35070$ .
Sens de l'erreur. On ne peut rien affirmer. Le profil des profondeurs monte, redescend, puis remonte : il n'est ni convexe ni concave sur $[0; 200]$ , et la proposition de la section 3 ne s'applique pas. Il faudrait découper aux points d'inflexion, par la relation de Chasles, et raisonner morceau par morceau.

Une parcelle de $0, 835$ hectare : le résultat tient en neuf coups de décamètre et une addition.