Mesurer $\pi$ avec des points au hasard

Mesurer $\pi$ avec des points au hasard. On tire $n=10000$ points au hasard dans le carré $[0;1]\times [0;1]$ ; $7868$ d'entre eux vérifient $x^2+y^2\le 1$.

• Quelle aire estime-t-on ainsi ? En déduire une estimation de $\pi$.
• Calculer l'écart type de la fréquence (on prendra $p\approx 0,787$), puis celui de l'estimation de $\pi$. Donner un intervalle de « deux écarts types ». Contient-il $\pi$ ?
• Combien de points faudrait-il pour connaître $\pi$ à $\pm 0,0005$ (à deux écarts types) ? Commenter.