Peser une tache de pollution — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 14)

Peser une tache de pollution

Thème 4 — Calculs d'aires · niveau 1 (application)

Énoncé

Peser une tache de pollution.

Sur une carte au $1/25 000$ , on a reporté le contour d'une nappe de pollution des sols. On découpe ce contour aux ciseaux, puis on pèse, avec une balance au milligramme près (incertitude $\pm 0, 002$ g).

un carré témoin de $10$ cm de côté, découpé dans la même feuille : $1, 58$ g ;
la découpe de la tache : $0, 374$ g.

Calculer la masse par unité de surface du papier, puis l'aire de la découpe.
Convertir en aire de terrain, en hectares.
Estimer l'incertitude due à la seule balance.
Le contour de la tache mesure environ $21$ cm sur la carte. Quel écart donnerait un quadrillage au pas de $5$ mm ? Conclure.
Quelles hypothèses la méthode suppose-t-elle ?

Corrigé

Masse surfacique et aire. Le carré témoin mesure $100$ cm $^{2}$ , donc le papier pèse $\frac{1 , 58}{100} = 0, 0158$ g/cm $^{2}$ . La masse étant proportionnelle à l'aire,

$A_{papier} = \frac{0 , 374}{0 , 0158} = 23, 67 cm^{2} .$

Sur le terrain. À l'échelle $1/25 000$ , $1$ cm représente $25000$ cm, soit $250$ m ; donc $1$ cm $^{2}$ représente $25 0^{2} = 62500$ m $^{2}$ , c'est-à-dire $6, 25$ ha. D'où

$A = 23, 67 \times 6, 25 \approx 148 ha.$

Incertitude de pesée. Les deux masses sont connues à $0, 002$ g près, et l'aire est leur quotient (multiplié par $100$ ) : les incertitudes relatives s'ajoutent,

$\frac{0 , 002}{0 , 374} + \frac{0 , 002}{1 , 58} \approx 0, 0053 + 0, 0013 = 0, 0066, soit 0, 66 %,$

c'est-à-dire environ $\pm 1$ ha. La tache fait donc $148 \pm 1$ ha.

Comparaison au quadrillage. Au pas $p = 0, 5$ cm, l'écart de l'encadrement vaut environ $21 \times 0, 5 = 10, 5$ cm $^{2}$ , à comparer aux $23, 7$ cm $^{2}$ cherchés : l'encadrement serait de $44 %$ ! Pour descendre à $0, 66 %$ , il faudrait $p \approx 0, 0074$ cm, soit moins d'un dixième de millimètre. La balance vaut ici mille fois mieux que les ciseaux quadrillés.
Hypothèses. Que le papier ait partout la même masse par unité de surface — donc même feuille, même grammage, même humidité (le papier reprend l'eau de l'air, et le témoin doit être pesé le même jour) ; et que le découpage suive fidèlement le trait. La dernière hypothèse est de loin la plus fragile : c'est elle, et non la balance, qui fixe la précision réelle.

Une méthode du XIX^e siècle, sans une seule intégrale, plus précise que tout ce qu'un crayon permettrait.