Peser une tache de pollution

• Masse surfacique et aire. Le carré témoin mesure $100$ cm${}^2$, donc le papier pèse $\frac{1,58}{100}=0,0158$ g/cm${}^2$. La masse étant proportionnelle à l'aire,

$${\mathcal{A}}_{\text{papier}}=\frac{0,374}{0,0158}=23,67{\text{ cm}}^2.$$

• Sur le terrain. À l'échelle $1/25000$, $1$ cm représente $25000$ cm, soit $250$ m ; donc $1$ cm${}^2$ représente $250^2=62500$ m${}^2$, c'est-à-dire $6,25$ ha. D'où

$$\mathcal{A}=23,67\times 6,25\approx 148\text{ ha.}$$

• Incertitude de pesée. Les deux masses sont connues à $0,002$ g près, et l'aire est leur quotient (multiplié par $100$) : les incertitudes relatives s'ajoutent,

$$\frac{0,002}{0,374}+\frac{0,002}{1,58}\approx 0,0053+0,0013=0,0066,\text{soit }0,66\%,$$

c'est-à-dire environ $\pm 1$ ha. La tache fait donc $148\pm 1$ ha.

• Comparaison au quadrillage. Au pas $p=0,5$ cm, l'écart de l'encadrement vaut environ $21\times 0,5=10,5$ cm${}^2$, à comparer aux $23,7$ cm${}^2$ cherchés : l'encadrement serait de $44\%$ ! Pour descendre à $0,66\%$, il faudrait $p\approx 0,0074$ cm, soit moins d'un dixième de millimètre. La balance vaut ici mille fois mieux que les ciseaux quadrillés.
• Hypothèses. Que le papier ait partout la même masse par unité de surface — donc même feuille, même grammage, même humidité (le papier reprend l'eau de l'air, et le témoin doit être pesé le même jour) ; et que le découpage suive fidèlement le trait. La dernière hypothèse est de loin la plus fragile : c'est elle, et non la balance, qui fixe la précision réelle.

Une méthode du XIX^e siècle, sans une seule intégrale, plus précise que tout ce qu'un crayon permettrait.