Une aire garantie sans primitive

Une aire garantie sans primitive. On veut $I={\int }_0^1\sqrt{1+x^3}\mathrm{d}x$, dont aucune primitive ne s'écrit avec les fonctions du programme. On pose $f(x)=\sqrt{1+x^3}$, et l'on admet que

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{3x(4+x^3)}{4(1+x^3{)}^{3/2}}.$$

• Étudier la convexité de $f$ sur $[0;1]$.
• Avec quatre tranches de largeur $0,25$, calculer la somme des trapèzes $T_4$. On donne, à $10^{-4}$ près : $f(0,25)=1,0078$, $f(0,5)=1,0607$, $f(0,75)=1,1924$, $f(1)=1,4142$.
• La méthode du point milieu remplace $f$, sur chaque tranche, par sa valeur au milieu. On donne $f(0,125)=1,0010$, $f(0,375)=1,0260$, $f(0,625)=1,1154$, $f(0,875)=1,2923$. Calculer $M_4$.
• En considérant la tangente à la courbe au milieu de chaque tranche, montrer que $M_4\le I\le T_4$. Donner l'encadrement obtenu.
• Avec huit tranches, on trouve $M_8\approx 1,11076$ et $T_8\approx 1,11283$. Par combien la largeur de l'encadrement a-t-elle été divisée ? Comparer au quadrillage.