Une feuille sur du papier millimétré

• Trois encadrements. L'aire d'un carreau est $p^2$ :

$$\begin{array}{cccc}\text{pas}& \text{aire d’un carreau}& {\text{encadrement (cm}}^2)& \text{milieu}\\ 1\text{ cm}& 1& 16\le \mathcal{A}\le 44& 30\\ 0,5\text{ cm}& 0,25& 22,5\le \mathcal{A}\le 36,5& 29,5\\ 0,25\text{ cm}& 0,0625& 25,8125\le \mathcal{A}\le 32,8125& 29,3125\end{array}$$

• Longueur du contour. Les écarts valent $28$, $14$ et $7$ cm${}^2$ : ils sont bien divisés par deux quand le pas l'est. En divisant chaque écart par son pas, on trouve $28$, $28$ et $28$ cm. La couronne de carreaux douteux a donc pour « longueur » environ $28$ cm : c'est l'ordre de grandeur du contour de la feuille, un peu surestimé parce que la frontière suit un escalier de carreaux et non une ligne lisse.
• Les trois estimations. $30$ ; $29,5$ ; $29,3125$, contre $29,46$ pour le scanner. Les trois encadrements contiennent la valeur vraie — c'est garanti. En revanche l'estimation au pas $0,25$ cm est moins bonne que celle au pas $0,5$ cm ($0,15$ contre $0,04$ cm${}^2$ d'écart). Rien ne l'interdit : le milieu d'un encadrement est un estimateur commode, pas une garantie. Ce qui est garanti, et qui progresse à coup sûr, c'est la largeur de l'encadrement.
• Coût de $1\%$. $1\%$ de $29,5$ cm${}^2$ fait $0,295$ cm${}^2$ de marge, soit un écart de $0,59$ cm${}^2$. Comme l'écart vaut $28\times p$ :

$$p=\frac{0,59}{28}\approx 0,021\text{ cm}\approx 0,2\text{ mm.}$$

Sur un champ de $10\times 8$ cm, cela ferait $500\times 400=200000$ carreaux.

Le comptage à la main est donc hors de question au-delà du demi-centimètre. C'est précisément pourquoi les botanistes pèsent leurs feuilles, en s'appuyant sur la proportionnalité de la masse à l'aire, plutôt que de les quadriller.