Ce que vaudrait vraiment la règle des $80/20$

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 15 — Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités

Énoncé

Ce que vaudrait vraiment la règle des $80/20$ .

On suppose que la part du revenu détenue par les $100 p %$ les plus riches suit une loi de Pareto $S (p) = p^{β}$ .

Sachant que $S (0, 20) = 0, 80$ , calculer $β$ puis $α$ .
En déduire la part détenue par le $1 %$ le plus riche, puis par le $0, 1 %$ .
Calculer l'indice de Gini correspondant.
En France, l'ajustement donne $β \approx 0, 48$ . Recalculer les mêmes quantités et comparer.

Corrigé

L'exposant. $0, 80 = 0, 2 0^{β}$ donne, en passant au logarithme,

$β = \frac{ln 0 , 80}{ln 0 , 20} = \frac{- 0 , 22314}{- 1 , 60944} \approx 0, 1386, α = \frac{1}{1 - β} \approx 1, 16.$

Les hauts de distribution.

$S (0, 01) = e^{0, 1386 l n 0, 01} \approx 0, 528, S (0, 001) = e^{0, 1386 l n 0, 001} \approx 0, 384.$

Le $1 %$ détiendrait plus de la moitié du revenu, et le $0, 1 %$ près de $40 %$ .

Indice. $G = \frac{1 - β}{1 + β} = \frac{0 , 861}{1 , 139} \approx 0, 76$ .
La réalité française. Avec $β = 0, 48$ :

$S (0, 10) = e^{0, 48 l n 0, 10} \approx 0, 331, S (0, 01) \approx 0, 110, G = \frac{0 , 52}{1 , 48} \approx 0, 35.$

La règle des $80/20$ décrit une société bien plus concentrée que la France : elle donnerait au $1 %$ cinq fois ce qu'il détient réellement. Le vrai enseignement de Pareto n'est pas ce couple de chiffres, mais la forme de la loi : un seul paramètre, $β$ , gouverne toute la partie haute de la distribution.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

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