Deux courbes symétriques, un même indice

Deux courbes symétriques, un même indice. On compare deux pays de courbes de Lorenz

$$L_A(x)=x^2\text{et}{L}_B(x)=1-\sqrt{1-x},0\le x\le 1.$$

• Vérifier que $L_B$ est la courbe de Lorenz d'une loi de Pareto, dont on donnera $\beta$ et $\alpha$. Calculer les deux indices de Gini.
• Comparer la part de la moitié la plus modeste, puis celle des $10\%$ les plus aisés, dans les deux pays.
• Montrer que les deux courbes se coupent, sur $]0;1[$, en un unique point d'abscisse $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. (Indication : se ramener à $1=(1-x)(1+x{)}^2$.)
• Montrer que la courbe de $L_B$ est l'image de celle de $L_A$ par la symétrie qui échange $(x;y)$ et $(1-y;1-x)$. Pourquoi les deux indices étaient-ils forcément égaux ?