Est-ce une courbe de Lorenz ?

• Les trois tests. Les trois vérifient $\phi (0)=0$ et $\phi (1)=1$ : pour $f$, $0,4+0,6=1$ ; pour $g$, $1,5-0,5=1$ ; pour $h$, $\frac{1+1}{2}=1$. Ensuite

$$f^{\prime }(x)=0,4+2,4x^3>0,g^{\prime }(x)=1,5-x>0\text{ sur }[0;1],h^{\prime }(x)=x+1,5x^2\ge 0,$$

donc les trois sont croissantes. Enfin

$$f^{\prime \prime }(x)=7,2x^2\ge 0,g^{\prime \prime }(x)=-1<0,h^{\prime \prime }(x)=1+3x>0.$$

$g$ est concave : ce n'est pas une courbe de Lorenz.

• Sans dérivée. $g(0,5)=0,75-0,125=0,625$ : la moitié la plus modeste de la population détiendrait $62,5\%$ du revenu, donc plus que sa part si tout le monde gagnait pareil. Absurde — une courbe de Lorenz est toujours au-dessous de la diagonale.
• Deux indices. Pour $f$, $x-f(x)=0,6(x-x^4)$, donc

$$G_f=2\times 0,6{\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=1,2\times \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=1,2\times 0,3=0,36.$$

Pour $h$,

$$G_h=1-2{\int }_0^1\frac{x^2+x^3}{2}\mathrm{d}x=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\approx 0,417.$$

La fonction $h$ est exactement le « pays B » du chapitre 5, dont on avait seulement montré la convexité : son indice de Gini vaut $\frac{5}{12}$, ce qui le place au niveau du Brésil.