Est-ce une courbe de Lorenz ? — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 15)

Est-ce une courbe de Lorenz ?

Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités · niveau 2

Énoncé

Est-ce une courbe de Lorenz ?

On propose trois fonctions sur $[0; 1]$ :

$f (x) = 0, 4 x + 0, 6 x^{4}, g (x) = 1, 5 x - 0, 5 x^{2}, h (x) = \frac{x ^{2} + x ^{3}}{2} .$

Pour chacune, vérifier les conditions aux bornes, la croissance et la convexité. Laquelle n'est pas une courbe de Lorenz ?
Donner une raison « de bon sens » — sans dérivée — de rejeter la mauvaise.
Calculer l'indice de Gini des deux autres.

Corrigé

Les trois tests. Les trois vérifient $φ (0) = 0$ et $φ (1) = 1$ : pour $f$ , $0, 4 + 0, 6 = 1$ ; pour $g$ , $1, 5 - 0, 5 = 1$ ; pour $h$ , $\frac{1 + 1}{2} = 1$ . Ensuite

$f^{'} (x) = 0, 4 + 2, 4 x^{3} > 0, g^{'} (x) = 1, 5 - x > 0 sur [0; 1], h^{'} (x) = x + 1, 5 x^{2} \geq 0,$

donc les trois sont croissantes. Enfin

$f^{''} (x) = 7, 2 x^{2} \geq 0, g^{''} (x) = - 1 < 0, h^{''} (x) = 1 + 3 x > 0.$

$g$ est concave : ce n'est pas une courbe de Lorenz.

Sans dérivée. $g (0, 5) = 0, 75 - 0, 125 = 0, 625$ : la moitié la plus modeste de la population détiendrait $62, 5 %$ du revenu, donc plus que sa part si tout le monde gagnait pareil. Absurde — une courbe de Lorenz est toujours au-dessous de la diagonale.
Deux indices. Pour $f$ , $x - f (x) = 0, 6 (x - x^{4})$ , donc

$G_{f} = 2 \times 0, 6 [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{1} = 1, 2 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = 1, 2 \times 0, 3 = 0, 36.$

Pour $h$ ,

$G_{h} = 1 - 2 \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + x ^{3}}{2} d x = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \approx 0, 417.$

La fonction $h$ est exactement le « pays B » du chapitre 5, dont on avait seulement montré la convexité : son indice de Gini vaut $\frac{5}{12}$ , ce qui le place au niveau du Brésil.