Le Gini exact, et celui que donnent les tranches

Le Gini exact, et celui que donnent les tranches. On considère, sur $[0;1]$,

$$L(x)=\frac{x}{2-x}.$$

• Montrer que $L(x)=-1+\frac{2}{2-x}$, puis que $L$ est une courbe de Lorenz.
• Montrer que $G=3-4\ln 2$, et en donner une valeur approchée.
• Calculer les ordonnées de la courbe aux abscisses $0,2$ ; $0,4$ ; $0,6$ ; $0,8$, puis l'indice obtenu par trapèzes sur ces cinq quintiles. Avec dix déciles, on trouve $0,2249$. Commenter le sens et l'évolution de l'erreur.
• À quel rang gagne-t-on le revenu moyen ? Estimer le rapport interdécile en assimilant $D_1$ et $D_9$ aux revenus des rangs $0,1$ et $0,9$.