Où gagne-t-on exactement la moyenne ?

• Les deux bouts. $L_A^{\prime }(x)=0,25+1,5x$ et $L_B^{\prime }(x)=0,1+2,7x^2$, donc

$$L_A^{\prime }(0)=0,25,L_A^{\prime }(1)=1,75,L_B^{\prime }(0)=0,1,L_B^{\prime }(1)=2,8.$$

Dans le pays $A$, le plus pauvre gagne $0,25$ fois la moyenne et le plus riche $1,75$ fois ; dans le pays $B$, $0,1$ et $2,8$ fois. Le pays $B$ est plus étalé aux deux extrémités.

• Le rang moyen. On résout $L^{\prime }(x)=1$ :

$$0,25+1,5x=1⟺x=\frac{0,75}{1,5}=0,5,$$

$$0,1+2,7x^2=1⟺x^2=\frac{0,9}{2,7}=\frac{1}{3}⟺x=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577.$$

• Sous la moyenne. Comme $L^{\prime }$ est croissante, on gagne moins que la moyenne exactement avant ce rang : $50\%$ de la population dans le pays $A$, $57,7\%$ dans le pays $B$. Plus un pays est inégalitaire, plus la moyenne s'éloigne de la médiane et plus la proportion de gens « en dessous de la moyenne » augmente.
• La France. Un décile pèse $0,1$ en abscisse, donc le revenu moyen d'une tranche vaut sa part divisée par $0,1$ :

$$\frac{0,237}{0,1}=2,37\text{et}\frac{0,035}{0,1}=0,35.$$

Le dernier décile vit avec $2,37$ fois le niveau de vie moyen, le premier avec $0,35$ fois : un rapport de $6,8$, bien supérieur au rapport interdécile $3,4$ des seuils. Les deux nombres décrivent le même pays sans se contredire.