Où gagne-t-on exactement la moyenne ? — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 15)

Où gagne-t-on exactement la moyenne ?

Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Où gagne-t-on exactement la moyenne ?

On reprend les deux pays du chapitre 7 :

$L_{A} (x) = 0, 25 x + 0, 75 x^{2} et L_{B} (x) = 0, 1 x + 0, 9 x^{3} .$

Calculer $L_{A}^{'} (0)$ , $L_{A}^{'} (1)$ , $L_{B}^{'} (0)$ et $L_{B}^{'} (1)$ , et les interpréter.
Déterminer, dans chaque pays, le rang $x$ auquel on gagne exactement le revenu moyen.
En déduire la proportion de la population qui gagne moins que la moyenne.
Sur les données françaises, calculer le revenu moyen du dernier décile et celui du premier, en multiples de la moyenne générale.

Corrigé

Les deux bouts. $L_{A}^{'} (x) = 0, 25 + 1, 5 x$ et $L_{B}^{'} (x) = 0, 1 + 2, 7 x^{2}$ , donc

$L_{A}^{'} (0) = 0, 25, L_{A}^{'} (1) = 1, 75, L_{B}^{'} (0) = 0, 1, L_{B}^{'} (1) = 2, 8.$

Dans le pays $A$ , le plus pauvre gagne $0, 25$ fois la moyenne et le plus riche $1, 75$ fois ; dans le pays $B$ , $0, 1$ et $2, 8$ fois. Le pays $B$ est plus étalé aux deux extrémités.

Le rang moyen. On résout $L^{'} (x) = 1$ :

$0, 25 + 1, 5 x = 1 ⟺ x = \frac{0 , 75}{1 , 5} = 0, 5,$

$0, 1 + 2, 7 x^{2} = 1 ⟺ x^{2} = \frac{0 , 9}{2 , 7} = \frac{1}{3} ⟺ x = \frac{1}{3} \approx 0, 577.$

Sous la moyenne. Comme $L^{'}$ est croissante, on gagne moins que la moyenne exactement avant ce rang : $50 %$ de la population dans le pays $A$ , $57, 7 %$ dans le pays $B$ . Plus un pays est inégalitaire, plus la moyenne s'éloigne de la médiane et plus la proportion de gens « en dessous de la moyenne » augmente.
La France. Un décile pèse $0, 1$ en abscisse, donc le revenu moyen d'une tranche vaut sa part divisée par $0, 1$ :

$\frac{0 , 237}{0 , 1} = 2, 37 et \frac{0 , 035}{0 , 1} = 0, 35.$

Le dernier décile vit avec $2, 37$ fois le niveau de vie moyen, le premier avec $0, 35$ fois : un rapport de $6, 8$ , bien supérieur au rapport interdécile $3, 4$ des seuils. Les deux nombres décrivent le même pays sans se contredire.