Ce que vaut un résultat négatif

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 16 — Thème 6 — Inférence bayésienne

Énoncé

Ce que vaut un résultat négatif.

Une usine remplit des bouteilles de gaz. $2 %$ d'entre elles présentent une microfuite. Un test d'étanchéité détecte $90 %$ des bouteilles qui fuient et déclare étanches $99 %$ des bouteilles saines.

Dresser le tableau des quatre cas sur $10000$ bouteilles.
Calculer la valeur prédictive positive du test.
Une bouteille est déclarée étanche. Quelle est la probabilité qu'elle fuie malgré tout ?
L'usine expédie $50000$ bouteilles déclarées étanches par mois. Combien de bouteilles qui fuient partent-elles chez les clients, en moyenne ?

Corrigé

Les quatre cas. $200$ bouteilles fuient, $9800$ sont saines. Le test repère $180$ des premières et se déclenche à tort sur $98$ des secondes.

$fuit saine total test + 18098278 test - 2097029722 total 200980010000$

Valeur prédictive positive.

$\frac{180}{278} = \frac{90}{139} \approx 0, 647.$

Environ deux alertes sur trois correspondent à une vraie fuite : bien meilleur que dans les exemples précédents, parce que la prévalence est ici de $2 %$ et non de $1 %$ , et surtout parce que la spécificité est de $99 %$ .

Un négatif. On lit la colonne des négatifs :

$P_{T} (fuite) = \frac{20}{9 722} = \frac{10}{4 861} \approx 0, 0021,$

soit environ une bouteille sur $486$ .

À l'échelle du mois. Chaque bouteille expédiée a la probabilité $\frac{10}{4 861}$ de fuir, donc en moyenne

$50000 \times \frac{10}{4 861} \approx 103$

bouteilles défectueuses partent chaque mois. Une probabilité de $0, 2 %$ n'est rassurante que tant qu'on ne la multiplie pas par un grand nombre.

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