Deux machines et une pièce défectueuse — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 16)

Deux machines et une pièce défectueuse

Thème 6 — Inférence bayésienne · niveau 1 (application)

Énoncé

Deux machines et une pièce défectueuse.

Un atelier fabrique une même pièce sur deux machines. La machine $A$ produit $70 %$ des pièces, dont $2 %$ sont défectueuses ; la machine $B$ produit les $30 %$ restants, dont $5 %$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans la production.

Construire l'arbre pondéré et calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.
La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$ ?
Reprendre la question 2 en raisonnant sur $10000$ pièces.
Commenter.

Corrigé

Probabilités totales. Avec $D$ l'événement « la pièce est défectueuse »,

$P (D) = P (A) P_{A} (D) + P (B) P_{B} (D) = 0, 70 \times 0, 02 + 0, 30 \times 0, 05 = 0, 014 + 0, 015 = 0, 029.$

Renversement. Le chemin cherché est « machine $B$ puis défectueuse », de poids $0, 015$ :

$P_{D} (B) = \frac{0 , 015}{0 , 029} = \frac{15}{29} \approx 0, 517.$

Et par complémentaire, $P_{D} (A) = \frac{14}{29} \approx 0, 483$ .

En effectifs. Sur $10000$ pièces : $7000$ viennent de $A$ et $140$ d'entre elles sont défectueuses ; $3000$ viennent de $B$ et $150$ sont défectueuses. Sur les $290$ pièces défectueuses, $150$ viennent de $B$ , soit $\frac{150}{290} = \frac{15}{29}$ .
Commentaire. La machine $B$ ne fait que $30 %$ de la production mais fournit plus de la moitié des pièces défectueuses. Un taux de rebut deux fois et demie plus élevé a suffi à renverser un rapport de production de $70$ contre $30$ .