Le dé truqué

Le dé truqué. Une boîte contient trois dés d'apparence identique : deux sont équilibrés, le troisième est truqué et donne $6$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$. On prend un dé au hasard et on le lance plusieurs fois ; les lancers sont indépendants. On note $T$ l'événement « le dé est truqué ».

• Quelle est la cote initiale de $T$ ? Calculer le rapport de vraisemblance d'un lancer donnant $6$, puis d'un lancer ne donnant pas $6$.
• On obtient successivement $6$, $6$, $3$, $6$. Quelle est la probabilité que le dé soit truqué ?
• Combien de $6$ consécutifs faut-il, au minimum, pour que la probabilité que le dé soit truqué dépasse $99\%$ ?
• On lance le dé $10$ fois et on obtient exactement quatre $6$. Calculer, à l'aide de la loi binomiale, la probabilité de ce résultat pour un dé truqué et pour un dé équilibré, et retrouver le rapport de vraisemblance de la question 1. Conclure.