Quand un négatif rassure-t-il ?

Quand un négatif rassure-t-il ? Un test a une sensibilité de $80\%$ et une spécificité de $95\%$. On note $p$ la prévalence de la maladie dans la population testée.

• Montrer que la valeur prédictive négative vaut

$$g(p)=\frac{0,95(1-p)}{0,95-0,75p},0\le p\le 1.$$

• Montrer que $g^{\prime }(p)=\frac{-0,19}{(0,95-0,75p{)}^2}$. En déduire le sens de variation de $g$ et ses valeurs en $0$ et en $1$.
• Calculer $g(0,01)$, $g(0,05)$ et $g(0,2)$.
• Jusqu'à quelle prévalence un résultat négatif garantit-il au moins $99\%$ de chances de ne pas être malade ?