Un portique antifraude, en fréquences naturelles

• Les quatre cas. $1000$ fraudeurs et $9000$ voyageurs en règle. Le portique sonne pour $900$ fraudeurs et pour $1800$ voyageurs en règle.

$$\begin{array}{lccc}& \text{sonne}& \text{ne sonne pas}& \text{total}\\ \text{fraudeur}& 900& 100& 1000\\ \text{en reˋgle}& 1800& 7200& 9000\\ \text{total}& 2700& 7300& 10000\end{array}$$

• Le portique sonne. On lit la colonne :

$$P_{\text{sonne}}(\text{fraude})=\frac{900}{2700}=\frac{1}{3}\approx 33\%.$$

Deux voyageurs interpellés sur trois sont en règle.

• Le portique ne sonne pas. On lit l'autre colonne :

$$P_{\overline{\text{sonne}}}(\text{fraude})=\frac{100}{7300}=\frac{1}{73}\approx 1,4\%.$$

• La formule du fabricant. Le $90\%$ annoncé est une sensibilité : il se lit en ligne, chez les fraudeurs. Il ne dit rien de ce que vaut un déclenchement, qui se lit en colonne et ne vaut ici que $33\%$. La phrase n'est pas fausse, elle répond à une autre question que celle du contrôleur.