Un portique antifraude, en fréquences naturelles

Thème 6 — Inférence bayésienne · niveau 1 (application)

Énoncé

Un portique antifraude, en fréquences naturelles.

Dans un réseau de transport, $10 %$ des voyageurs fraudent. Un portique de contrôle se déclenche pour $90 %$ des fraudeurs, et se déclenche à tort pour $20 %$ des voyageurs en règle.

Sur $10000$ voyageurs, dresser le tableau des quatre cas.
Le portique sonne. Quelle est la probabilité que le voyageur fraude ?
Le portique ne sonne pas. Quelle est la probabilité qu'il fraude quand même ?
Le fabricant annonce un portique « fiable à $90 %$ ». Que penser de cette formule ?

Corrigé

Les quatre cas. $1000$ fraudeurs et $9000$ voyageurs en règle. Le portique sonne pour $900$ fraudeurs et pour $1800$ voyageurs en règle.

$fraudeur en r e ˋ gle total sonne 90018002700 ne sonne pas 10072007300 total 1000900010000$

Le portique sonne. On lit la colonne :

$P_{sonne} (fraude) = \frac{900}{2 700} = \frac{1}{3} \approx 33 %.$

Deux voyageurs interpellés sur trois sont en règle.

Le portique ne sonne pas. On lit l'autre colonne :

$P_{sonne} (fraude) = \frac{100}{7 300} = \frac{1}{73} \approx 1, 4 %.$

La formule du fabricant. Le $90 %$ annoncé est une sensibilité : il se lit en ligne, chez les fraudeurs. Il ne dit rien de ce que vaut un déclenchement, qui se lit en colonne et ne vaut ici que $33 %$ . La phrase n'est pas fausse, elle répond à une autre question que celle du contrôleur.