Démasquer une pièce légèrement truquée

Démasquer une pièce légèrement truquée. On soupçonne une pièce de tomber sur pile avec la probabilité $0,55$ au lieu de $0,5$. On la lance $n$ fois et l'on note $F$ la fréquence de pile. On admet qu'une fréquence s'écarte de plus de deux écarts types de son espérance avec une probabilité d'environ $5\%$, et de plus de deux écarts types d'un côté donné avec une probabilité d'environ $2,5\%$.

• On décide de déclarer la pièce truquée si $F\ge 0,5+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Justifier que le risque de rejeter à tort une pièce équilibrée est d'environ $2,5\%$.
• On veut aussi que le risque $\beta$ de ne pas détecter une pièce à $0,55$ soit d'environ $2,5\%$. Montrer qu'il suffit que $0,5+\frac{1}{\sqrt{n}}\le 0,55-2\sqrt{\frac{0,2475}{n}}$, et en déduire une taille $n$ suffisante.
• Pour $n=1600$, le calcul exact avec la loi binomiale donne $P(X\ge 840)\approx 0,024$ si $p=0,5$, et $P(X\le 839)\approx 0,021$ si $p=0,55$. Interpréter.
• Que faudrait-il pour détecter un biais deux fois plus petit ($0,525$) ?