Du nombre de succès à la fréquence — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 17)

Du nombre de succès à la fréquence

Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage · niveau 1 (application)

Énoncé

Du nombre de succès à la fréquence.

Dans une région, $30 %$ des habitants sont porteurs d'un variant génétique. On prélève au hasard $200$ personnes ; $X$ est le nombre de porteurs et $F = \frac{X}{200}$ la fréquence observée.

Donner la loi de $X$ , puis $E (X)$ et $σ (X)$ .
En déduire $E (F)$ et $σ (F)$ .
Le programme donne $I = [48; 73]$ pour $α = 0, 05$ , avec $P (X \in I) \approx 0, 955$ . Traduire en fréquences et donner la demi-largeur.
Comparer à l'intervalle $[E (F) - 2 σ (F); E (F) + 2 σ (F)]$ et à la marge garantie $\frac{1}{200}$ .

Corrigé

Le modèle. Chaque prélèvement est une épreuve à deux issues (porteur / non porteur), la population est très grande devant $200$ et les prélèvements sont indépendants : $X \sim B (200; 0, 30)$ , donc

$E (X) = 200 \times 0, 30 = 60, σ (X) = 200 \times 0, 30 \times 0, 70 = 42 \approx 6, 48.$

La fréquence. On divise par $n = 200$ :

$E (F) = 0, 30, σ (F) = \frac{0 , 30 \times 0 , 70}{200} = 0, 00105 \approx 0, 0324.$

On vérifie au passage que $\frac{6 , 48}{200} \approx 0, 0324$ : c'est bien le même calcul.

En fréquences. On divise les deux bornes par $200$ :

$[\frac{48}{200}; \frac{73}{200}] = [0, 240; 0, 365], demi-largeur \frac{0 , 365 - 0 , 240}{2} = 0, 0625.$

La fréquence de porteurs tombera entre $24, 0 %$ et $36, 5 %$ dans environ $95, 5 %$ des prélèvements.

Trois marges à comparer.

$2 σ (F) \approx 0, 0648, demi-largeur exacte = 0, 0625, \frac{1}{200} \approx 0, 0707.$

Les trois nombres sont du même ordre et rangés dans l'ordre attendu : la marge garantie majore les deux autres, puisqu'elle est calculée pour le cas le plus défavorable $p = 0, 5$ , alors qu'ici $p = 0, 3$ .

L'intervalle exact n'est pas centré sur $0, 30$ : il déborde un peu plus à droite qu'à gauche. La loi binomiale n'est symétrique que pour $p = 0, 5$ .