mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 17 · Exercice de TD

Lire la sortie d'une simulation

Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage · niveau 2

Énoncé

Lire la sortie d'une simulation.

On simule $10000$ échantillons de taille $150$ dans une population où $p = 0, 40$ , avec seed(2032). Le programme affiche :


moyenne     : 0.4006
ecart type  : 0.0405
minimum     : 0.2667
maximum     : 0.5733
hors [0,32 ; 0,48] : 387

Calculer $E (F)$ et $σ (F)$ , et les comparer aux deux premières lignes.
Vérifier que $[0, 32; 0, 48]$ est exactement $[E (F) - 2 σ (F); E (F) + 2 σ (F)]$ .
Le calcul exact donne $P (F \in [0, 32; 0, 48]) \approx 0, 9632$ . La cinquième ligne est-elle cohérente ?
Que valent le minimum et le maximum, en écarts types ?
Une équipe obtient $84$ succès sur un échantillon de $150$ . Que peut-elle en dire ?

Corrigé

Valeurs théoriques.

$E (F) = 0, 40, σ (F) = \frac{0 , 40 \times 0 , 60}{150} = 0, 0016 = 0, 04 exactement.$

La simulation donne $0, 4006$ et $0, 0405$ : l'accord est excellent sur les deux.

Deux écarts types. $0, 40 - 2 \times 0, 04 = 0, 32$ et $0, 40 + 2 \times 0, 04 = 0, 48$ . C'est bien l'intervalle testé — et il se trouve qu'ici il coïncide exactement avec l'intervalle de fluctuation exact $[\frac{48}{150}; \frac{72}{150}]$ .
Cohérence. La proportion simulée hors de l'intervalle vaut

$\frac{387}{10 000} = 0, 0387,$

à comparer à $1 - 0, 9632 = 0, 0368$ . L'écart, deux millièmes, est de l'ordre de ce qu'on attend sur $10000$ tirages : les deux nombres sont cohérents.

Les extrêmes. $\frac{0 , 2667 - 0 , 40}{0 , 04} \approx - 3, 3$ et $\frac{0 , 5733 - 0 , 40}{0 , 04} \approx 4, 3$ . Sur dix mille échantillons, il est normal de rencontrer des écarts de trois à quatre écarts types : un événement rare devient courant dès qu'on répète beaucoup.
Une valeur isolée. La fréquence observée vaut $\frac{84}{150} = 0, 56$ , qui est hors de $[0, 32; 0, 48]$ . Sous l'hypothèse $p = 0, 40$ , sortir de cet intervalle survient dans moins de $4 %$ des cas. L'équipe peut donc rejeter l'hypothèse $p = 0, 40$ au risque $5 %$ , en sachant qu'elle se tromperait environ une fois sur vingt-cinq si l'hypothèse était vraie. Et la simulation rappelle que ce n'est pas impossible : elle a bien produit, sur dix mille échantillons honnêtes, une fréquence montant jusqu'à $0, 5733$ .

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