Poser une question gênante sans qu'on puisse mentir

Poser une question gênante sans qu'on puisse mentir. Pour estimer la proportion $p$ d'élèves ayant déjà triché à un examen, on sait qu'une question directe produit des mensonges. On emploie la réponse randomisée : chaque élève lance une pièce en secret. Pile, il répond honnêtement à la question « avez-vous déjà triché ? » ; face, il répond « oui » quoi qu'il en soit.

• Montrer que la probabilité qu'un élève réponde « oui » vaut $q=\frac{1+p}{2}$. Pourquoi les élèves n'ont-ils plus de raison de mentir ?
• Sur $1000$ élèves, $580$ répondent « oui ». Estimer $p$.
• On note $F$ la fréquence des « oui » et $\hat{p}=2F-1$ l'estimation. Montrer que $\sigma (\hat{p})=2\sigma (F)$, et donner une fourchette à deux écarts types.
• Avec une question directe, l'enquête trouvait $6\%$. Que mesure l'écart ?
• Combien d'élèves faut-il interroger par réponse randomisée pour une marge garantie de $3$ points sur $p$ ? Comparer au cas d'une question directe. Conclure.