Quatre budgets d'enquête — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 17)

Quatre budgets d'enquête

Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage · niveau 1 (application)

Énoncé

Quatre budgets d'enquête.

Un institut chiffre quatre projets, de $100$ , $400$ , $1600$ et $6400$ entretiens.

Donner, pour chacun, la marge garantie $\frac{1}{n}$ en points de pourcentage.
Le passage de $100$ à $6400$ entretiens multiplie le coût par $64$ . Par combien divise-t-il la marge ?
Le client veut annoncer un résultat à $1, 5$ point près. Combien d'entretiens faut-il ?
Il propose de n'interroger que les habitants d'une seule grande ville, ce qui diviserait le coût par trois. Que répondre ?

$\frac{1}{100} = 0, 100, \frac{1}{400} = 0, 050, \frac{1}{1 600} = 0, 025, \frac{1}{6 400} = 0, 0125,$

soit $10$ ; $5$ ; $2, 5$ et $1, 25$ points.

Coût contre précision. La marge passe de $10$ à $1, 25$ point : elle est divisée par $8$ . C'est bien $64 = 8$ — chaque quadruplement de l'effectif divise la marge par deux, et $64 = 4^{3}$ correspond à trois quadruplements, donc à une division par $2^{3} = 8$ .
Taille nécessaire. On veut $\frac{1}{n} \leq 0, 015$ , c'est-à-dire

$n \geq \frac{1}{0 , 01 5 ^{2}} = \frac{1}{0 , 000225} \approx 4444, 4.$

Il faut donc au moins $4445$ entretiens. Vérification : $\frac{1}{4 445} \approx 0, 0150$ .

La proposition du client. Elle est à refuser, mais pas pour une raison de précision : la formule $σ (F) = p (1 - p) / n$ ne fait pas intervenir la taille de la population, et un échantillon urbain de $4445$ personnes donnerait une marge identique. Le problème est ailleurs : la population aurait changé. On mesurerait très précisément la proportion de favorables dans une ville, et non dans le pays. C'est un biais de sélection, et aucune taille d'échantillon ne le répare.