mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 17 · Exercice de TD

Une enquête de satisfaction en ligne

Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une enquête de satisfaction en ligne.

Un service public interroge ses usagers par un questionnaire en ligne envoyé à $4000$ personnes tirées au hasard dans son fichier. $1200$ répondent, dont $720$ se déclarent satisfaites. Le service publie : « $60 %$ d'usagers satisfaits, enquête réalisée auprès de $1200$ personnes ».

Calculer la fréquence observée et la marge garantie associée à $n = 1200$ .
Une étude de contrôle, menée par entretiens téléphoniques répétés jusqu'à joindre les non-répondants, établit que ceux-ci sont satisfaits à $48 %$ . Calculer la proportion vraie de satisfaits dans le fichier.
Calculer le biais et vérifier la formule $(1 - r) (p_{r} - p_{n r})$ .
Comparer le biais à la marge de fluctuation. À partir de quelle taille d'échantillon le biais l'emporte-t-il ?
Le service propose d'envoyer le questionnaire aux $4000$ personnes du fichier plutôt qu'à un échantillon. Cela réglerait-il le problème ?

Corrigé

Ce que l'enquête mesure. $f = \frac{720}{1 200} = 0, 60$ , et la marge garantie vaut

$\frac{1}{1 200} \approx 0, 0289,$

soit $2, 9$ points. Publiée telle quelle, l'enquête annonce donc « $60 %$ à trois points près ».

La proportion vraie. Le taux de réponse est $r = \frac{1 200}{4 000} = 0, 30$ , et

$p = 0, 30 \times 0, 60 + 0, 70 \times 0, 48 = 0, 18 + 0, 336 = 0, 516.$

Le biais. Il vaut $0, 60 - 0, 516 = 0, 084$ , soit $8, 4$ points, et l'on vérifie

$(1 - r) (p_{r} - p_{n r}) = 0, 70 \times (0, 60 - 0, 48) = 0, 70 \times 0, 12 = 0, 084.$

Comparaison. Le biais, $8, 4$ points, est presque trois fois la marge de fluctuation, $2, 9$ points. Il l'emporte dès que

$\frac{1}{n} \leq 0, 084 ⟺ n \geq \frac{1}{0 , 08 4 ^{2}} \approx 142.$

Dès $142$ répondants, l'erreur de l'enquête est dominée par le biais. Les $1200$ réponses n'ont donc rien apporté d'autre qu'une fausse impression de précision.

Interroger tout le fichier. Cela ne changerait rien, et pourrait même aggraver la situation : le taux de réponse resterait de l'ordre de $30 %$ , et l'on obtiendrait environ $1200$ réponses des mêmes types de personnes. Le biais est de $8, 4$ points quel que soit le nombre d'envois. La seule action utile est de faire baisser $1 - r$ — relancer, téléphoner, aller chercher les non-répondants —, car le biais lui est proportionnel : porter le taux de réponse à $80 %$ ramènerait le biais à $0, 20 \times 0, 12 = 0, 024$ , soit $2, 4$ points.

La bonne dépense n'est pas d'interroger plus de monde, c'est d'obtenir des réponses de ceux qui n'en donnent pas.

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