Corriger un seuil faux

Corriger un seuil faux. Une machine produit des pièces défectueuses avec la probabilité $p=0,02$, indépendamment d'une pièce à l'autre. Un contrôleur examine les pièces une à une jusqu'à la première défectueuse ; on note $X$ le rang de cette pièce.

• Un élève cherche le plus petit $n$ tel que $P(X\le n)\ge 0,9$ et écrit : « $0,98^n\le 0,1⟺n\ln 0,98\le \ln 0,1⟺n\le \frac{\ln 0,1}{\ln 0,98}\approx 113,97$. » Trouver l'erreur, corriger, et vérifier la réponse.
• Déterminer de même la médiane de $X$, et comparer à $E(X)$.
• La durée $T$ (en heures) avant la prochaine panne d'une autre machine suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$. À partir de quelle durée la probabilité d'avoir eu une panne dépasse-t-elle $0,9$ ?