Le rodage : une pièce usagée vaut mieux qu'une neuve

Le rodage : une pièce usagée vaut mieux qu'une neuve. Un composant électronique a, mois après mois, le taux de panne suivant : $p_1=0,3$, $p_2=0,15$, puis $p_n=0,05$ pour tout $n\ge 3$. On note $X$ le rang du mois de la première panne et $S(n)=P(X>n)$.

• Calculer $S(1)$, $S(2)$, puis exprimer $S(n)$ pour $n\ge 2$.
• À l'aide de la formule admise $E(X)=S(0)+S(1)+S(2)+\dots$, calculer la durée de vie moyenne d'un composant neuf.
• Un composant a fonctionné deux mois. Montrer que le nombre de mois supplémentaires avant sa panne suit une loi géométrique, et donner son espérance.
• Comparer la probabilité de tomber en panne dans les cinq mois pour un composant neuf et pour un composant âgé de deux mois.
• Le fabricant fait fonctionner ses composants deux mois en usine avant de les vendre (le « déverminage »). Quelle proportion en élimine-t-il ? Qu'y gagne l'acheteur ?