Reconnaître une loi exponentielle à ses quartiles

Reconnaître une loi exponentielle à ses quartiles. Sur $500$ appels à une hotline, on relève la durée d'attente avant décrochage, en minutes. Le tableur donne : moyenne $5,1$ ; premier quartile $1,5$ ; médiane $3,6$ ; troisième quartile $7,2$.

• Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, exprimer le premier quartile, la médiane et le troisième quartile en fonction de l'espérance $E(T)=\frac{1}{\lambda }$.
• Comparer avec les rapports observés $\frac{Q_1}{\bar{t}}$, $\frac{\text{meˊdiane}}{\bar{t}}$, $\frac{Q_3}{\bar{t}}$. Le modèle exponentiel est-il plausible ?
• Le rapport $\frac{Q_3}{Q_1}$ d'une loi exponentielle dépend-il de $\lambda$ ? Le calculer et le comparer aux données.
• En adoptant le modèle avec $\lambda =\frac{1}{5,1}$, estimer la proportion d'appels qui attendent plus d'un quart d'heure.