Un guichet, des moyennes identiques, des attentes différentes

Un guichet, des moyennes identiques, des attentes différentes. À un guichet, on note $W_k$ l'attente du $k$-ième client, $S_k$ la durée de son service et $A_{k+1}$ le temps entre son arrivée et celle du client suivant. Le premier client n'attend pas : $W_1=0$, et $W_{k+1}=\max \left(0;W_k+S_k-A_{k+1}\right)$. Les durées sont en minutes.

• Les clients arrivent toutes les $5$ minutes et chaque service dure $4$ minutes. Montrer par récurrence que $W_k=0$ pour tout $k$. Quel est le taux d'occupation ?
• Les clients arrivent toutes les $5$ minutes et chaque service dure $6$ minutes. Montrer par récurrence que $W_k=k-1$. Combien attend le soixantième client ? Interpréter à l'aide du taux d'occupation.
• Retour à des services de $4$ minutes, mais les intervalles d'arrivée valent alternativement $2$ et $8$ minutes ($A_2=2$, $A_3=8$, $A_4=2$, et ainsi de suite). Calculer $W_1$ à $W_6$ et l'attente moyenne.
• Les intervalles alternent toujours entre $2$ et $8$ minutes, mais les services alternent entre $7$ et $1$ minute ($S_1=7$, $S_2=1$, et ainsi de suite). Même question. Que se passe-t-il si, au contraire, $S_1=1$, $S_2=7$, et ainsi de suite ?
• Que retenir ?