Chiffrer la confusion qu'il faudrait invoquer

Chiffrer la confusion qu'il faudrait invoquer. Une étude d'observation (données fictives) trouve qu'une maladie est trois fois plus fréquente chez les travailleurs de nuit que chez les autres : risque relatif $R=3$. Un contradicteur objecte qu'un facteur caché $Z$ (un mode de vie, par exemple) pourrait tout expliquer. On suppose que le travail de nuit n'a aucun effet propre, que $Z$ multiplie le risque de maladie par $\gamma >1$, et que $Z$ est présent chez $10\%$ des travailleurs de jour et chez une proportion $q$ des travailleurs de nuit. On note $r_0$ le risque d'un individu sans $Z$.

• À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que le risque relatif produit par $Z$ vaut

$$R(\gamma ,q)=\frac{q\gamma +1-q}{0,1\gamma +0,9}.$$

• Avec $q=0,3$ et $\gamma =10$, calculer $R$. Le facteur suffit-il à expliquer $R=3$ ?
• Montrer que, pour $q\ge 0,1$, on a toujours $R(\gamma ,q)\le 10q$. En déduire qu'il faut $q\ge 0,3$ pour obtenir $R=3$. Reconnaître l'inégalité de Cornfield.
• Si $\gamma =10$, quelle proportion $q$ faudrait-il exactement ? Que conclure face au contradicteur ?