Combien de fois le lac repasse-t-il par $40$ tonnes ?

• Dérivée : $B^{\prime }(t)=1,5t^2-15t+30=1,5(t^2-10t+20)$. Le trinôme $t^2-10t+20$ a pour discriminant $\Delta =100-80=20$, et $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, d'où les racines

$$t=\frac{10\pm 2\sqrt{5}}{2}=5\pm \sqrt{5},5-\sqrt{5}\approx 2,76,5+\sqrt{5}\approx 7,24.$$

Le coefficient dominant étant positif, $B^{\prime }(t)>0$ à l'extérieur des racines et $B^{\prime }(t)<0$ entre elles.

• $B(0)=12$ ; $B(5-\sqrt{5})\approx 48,18$ ; $B(5+\sqrt{5})\approx 25,82$ ; $B(10)=62$.

• $B$ est un polynôme, donc continue sur $[0;10]$. Le tableau de variation le découpe en trois intervalles de stricte monotonie ; sur chacun on applique le théorème des valeurs intermédiaires :

• sur $[0;5-\sqrt{5}]$, $B$ croît de $12$ à $48,18$, et $12<40<48,18$ : une solution ;
• sur $[5-\sqrt{5};5+\sqrt{5}]$, $B$ décroît de $48,18$ à $25,82$, et $25,82<40<48,18$ : une solution ;
• sur $[5+\sqrt{5};10]$, $B$ croît de $25,82$ à $62$, et $25,82<40<62$ : une solution.

La stricte monotonie garantit qu'il n'y en a pas davantage sur chaque morceau : l'équation $B(t)=40$ admet donc exactement trois solutions, voisines de $1,35$, $4,60$ et $9,06$ mois.

• Pour $k=55$ : ce niveau n'est atteint ni sur $[12;48,18]$, ni sur $[25,82;48,18]$, mais il l'est sur $[25,82;62]$. Une seule branche le franchit : l'équation $B(t)=55$ admet une unique solution.

Le tableau de variation ne décore pas la copie : c'est lui qui compte les solutions.