Combien de fois le lac repasse-t-il par 40 tonnes ? — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 2)

Combien de fois le lac repasse-t-il par

40

tonnes ?

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Combien de fois le lac repasse-t-il par $40$ tonnes ?

La biomasse végétale d'un lac de montagne, en tonnes, est suivie pendant dix mois. Un modèle ajusté sur les relevés donne

$B (t) = 0, 5 t^{3} - 7, 5 t^{2} + 30 t + 12, t \in [0; 10] .$

Calculer $B^{'} (t)$ , déterminer ses racines et son signe.
Donner les valeurs de $B$ aux bornes et aux extremums.
Combien de fois la biomasse vaut-elle exactement $40$ tonnes ? Justifier.
Et si l'on cherche $55$ tonnes ?

Corrigé

Dérivée : $B^{'} (t) = 1, 5 t^{2} - 15 t + 30 = 1, 5 (t^{2} - 10 t + 20)$ . Le trinôme $t^{2} - 10 t + 20$ a pour discriminant $Δ = 100 - 80 = 20$ , et $20 = 25$ , d'où les racines

$t = \frac{10 \pm 2 5}{2} = 5 \pm 5, 5 - 5 \approx 2, 76, 5 + 5 \approx 7, 24.$

Le coefficient dominant étant positif, $B^{'} (t) > 0$ à l'extérieur des racines et $B^{'} (t) < 0$ entre elles.

$B (0) = 12$ ; $B (5 - 5) \approx 48, 18$ ; $B (5 + 5) \approx 25, 82$ ; $B (10) = 62$ .

$B$ est un polynôme, donc continue sur $[0; 10]$ . Le tableau de variation le découpe en trois intervalles de stricte monotonie ; sur chacun on applique le théorème des valeurs intermédiaires :

sur $[0; 5 - 5]$ , $B$ croît de $12$ à $48, 18$ , et $12 < 40 < 48, 18$ : une solution ;
sur $[5 - 5; 5 + 5]$ , $B$ décroît de $48, 18$ à $25, 82$ , et $25, 82 < 40 < 48, 18$ : une solution ;
sur $[5 + 5; 10]$ , $B$ croît de $25, 82$ à $62$ , et $25, 82 < 40 < 62$ : une solution.

La stricte monotonie garantit qu'il n'y en a pas davantage sur chaque morceau : l'équation $B (t) = 40$ admet donc exactement trois solutions, voisines de $1, 35$ , $4, 60$ et $9, 06$ mois.

Pour $k = 55$ : ce niveau n'est atteint ni sur $[12; 48, 18]$ , ni sur $[25, 82; 48, 18]$ , mais il l'est sur $[25, 82; 62]$ . Une seule branche le franchit : l'équation $B (t) = 55$ admet une unique solution.

Le tableau de variation ne décore pas la copie : c'est lui qui compte les solutions.