Deux asymptotes pour un coût moyen — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 2)

Deux asymptotes pour un coût moyen

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Deux asymptotes pour un coût moyen.

Une entreprise produit $q$ milliers de pièces ( $q > 0$ ). Son coût total, en milliers d'euros, est

$C (q) = 5 q + 300,$

où $300$ représente les frais fixes et $5$ le coût variable d'un millier de pièces. On appelle coût moyen la quantité $CM (q) = \frac{C ( q )}{q}$ .

Exprimer $CM (q)$ sous forme d'une somme.
Déterminer $q \to 0^{+} lim CM (q)$ et interpréter.
Déterminer $q \to + \infty lim CM (q)$ et interpréter.
À partir de quelle production le coût moyen descend-il au plus à $8$ ?

Corrigé

$CM (q) = \frac{5 q + 300}{q} = 5 + \frac{300}{q}$ .

En $0^{+}$ : $lim_{q \to 0^{+}} \frac{300}{q} = + \infty$ , donc par somme $lim_{q \to 0^{+}} CM (q) = + \infty$ . La droite $q = 0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale. Produire presque rien revient à répartir $300$ milliers d'euros de frais fixes sur une poignée de pièces : le coût unitaire explose.

En $+ \infty$ : $lim_{q \to + \infty} \frac{300}{q} = 0$ , donc $lim_{q \to + \infty} CM (q) = 5$ . La droite $y = 5$ est asymptote horizontale : les frais fixes se diluent, et le coût moyen tend vers le coût variable unitaire. Il ne descendra jamais en dessous, puisque $CM (q) - 5 = \frac{300}{q} > 0$ .

Comme $q > 0$ :

$5 + \frac{300}{q} \leq 8 ⟺ \frac{300}{q} \leq 3 ⟺ 300 \leq 3 q ⟺ q \geq 100.$

Il faut produire au moins $100$ milliers de pièces. Les deux asymptotes racontent à elles seules l'économie du problème : une borne inférieure infranchissable ( $5$ ) et une zone interdite ( $q$ voisin de $0$ ).