Le coût d'une dépollution totale

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 — Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Énoncé

Le coût d'une dépollution totale.

Le coût de dépollution d'un ancien site industriel, en milliers d'euros, en fonction du pourcentage $x$ de polluant retiré, est modélisé par

$D (x) = \frac{250 x}{100 - x}, 0 \leq x < 100.$

Calculer $D (50)$ et $D (90)$ , et comparer.
Déterminer $x \to 10 0^{-} lim D (x)$ . Interpréter.
Avec un budget de $1000$ milliers d'euros, quel pourcentage de polluant peut-on retirer ?

Corrigé

$D (50) = \frac{12 500}{50} = 250$ et $D (90) = \frac{22 500}{10} = 2250$ . Retirer $90 %$ du polluant coûte neuf fois plus cher que d'en retirer la moitié, alors que la quantité traitée n'est même pas doublée.

Limite à gauche en $100$ : le numérateur $250 x$ tend vers $25000$ , tandis que le dénominateur $100 - x$ tend vers $0$ en restant strictement positif. Un quotient dont le numérateur tend vers un réel strictement positif et dont le dénominateur tend vers $0^{+}$ tend vers $+ \infty$ :

$x \to 10 0^{-} lim D (x) = + \infty.$

La droite $x = 100$ est asymptote verticale. Le modèle affirme qu'une dépollution totale n'a pas de coût fini : c'est précisément le message que les économistes de l'environnement tirent de ce type de courbe — on ne vise jamais $100 %$ , on arbitre.

Comme $100 - x > 0$ :

$\frac{250 x}{100 - x} = 1000 ⟺ 250 x = 1000 (100 - x) ⟺ 1250 x = 100000 ⟺ x = 80.$

Le budget permet de retirer $80 %$ du polluant. Les $10$ points suivants coûteraient à eux seuls $1250$ milliers d'euros de plus.

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