Le randonneur

Le randonneur.

Un randonneur part du refuge à $7$ h et atteint le sommet à $19$ h. Le lendemain, il quitte le sommet à $7$ h et redescend par le même sentier, pour arriver au refuge à $19$ h. Il va à son rythme, s'arrête quand il veut, peut même revenir sur ses pas. On note $m(t)$ et $d(t)$ sa distance au refuge, mesurée le long du sentier, à l'heure $t$ de la montée et à l'heure $t$ de la descente, pour $t\in [7;19]$, et $L$ la longueur du sentier.

• Que valent $m(7)$, $m(19)$, $d(7)$, $d(19)$ ? Pourquoi peut-on admettre que $m$ et $d$ sont continues ?
• On pose $g(t)=m(t)-d(t)$. Calculer $g(7)$ et $g(19)$.
• Montrer qu'il existe une heure à laquelle le randonneur se trouve exactement au même endroit du sentier les deux jours.
• Peut-on dire à quelle heure ? Cette heure est-elle forcément unique ?