Problème — La fenêtre thérapeutique d'un antibiotique

• $C(0)=0$ : au moment de l'injection, le principe actif n'a pas encore gagné le sang. En $+\infty$, numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée. On factorise par $t^2$ au dénominateur :

$$C(t)=\frac{20t}{t^2\left(1+\frac{4}{t^2}\right)}=\frac{20}{t}\times \frac{1}{1+\frac{4}{t^2}}.$$

Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $1$, donc par produit ${\lim }_{t\to +\infty }C(t)=0$. La droite $y=0$ est asymptote horizontale : le médicament est intégralement éliminé à long terme.

• $C$ est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u(t)=20t$ et $v(t)=t^2+4$, donc $u^{\prime }(t)=20$ et $v^{\prime }(t)=2t$. Le dénominateur ne s'annule jamais, et

$$C^{\prime }(t)=\frac{20(t^2+4)-20t\times 2t}{(t^2+4{)}^2}=\frac{20t^2+80-40t^2}{(t^2+4{)}^2}=\frac{80-20t^2}{(t^2+4{)}^2}.$$

Le dénominateur étant strictement positif, $C^{\prime }(t)$ a le signe de $80-20t^2=20(2-t)(2+t)$, positif pour $0\le t<2$, nul en $2$, négatif ensuite. Donc $C$ croît de $C(0)=0$ à $C(2)=\frac{40}{8}=5$, puis décroît de $5$ vers $0$.

• $C$ est continue sur $[0;+\infty [$ (quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas).

• Sur $[0;2]$, $C$ est strictement croissante de $0$ à $5$, et $0<3<5$ : une unique solution.
• Sur $[2;10]$, $C$ est strictement décroissante de $5$ à $C(10)=\frac{200}{104}\approx 1,92$, et $1,92<3<5$ : une unique solution.
• Sur $[10;+\infty [$, $C$ décroît en restant inférieure à $1,92<3$ : aucune solution.

L'équation $C(t)=3$ admet donc exactement deux solutions.

• Comme $t^2+4>0$ :

$$\frac{20t}{t^2+4}=3⟺20t=3t^2+12⟺3t^2-20t+12=0.$$

Le discriminant vaut $\Delta =400-144=256$, donc $\sqrt{\Delta }=16$ et

$$t_1=\frac{20-16}{6}=\frac{2}{3}\text{et}{t}_2=\frac{20+16}{6}=6.$$

• D'après le tableau de variation, $C(t)\ge 3$ exactement sur $\left[\frac{2}{3};6\right]$. La durée d'efficacité vaut

$$6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}\text{h}=5\text{h}20\text{min}.$$

• Le maximum de $C$ vaut $5$ mg$\cdot$L${}^{-1}$, atteint deux heures après l'injection. Comme $5<6$, le pic reste sous le seuil de toxicité : la posologie est sûre.

Le théorème des valeurs intermédiaires a compté les solutions avant tout calcul ; la résolution exacte, ici possible, n'a fait que confirmer ce que le tableau de variation annonçait déjà.