Remplir une cuve sphérique au quart

Remplir une cuve sphérique au quart.

Une cuve sphérique de rayon $1$ m est remplie d'eau jusqu'à une hauteur $h$, en m, avec $0\le h\le 2$. Le volume d'eau, en m${}^3$, vaut alors

$$V(h)=\frac{\pi }{3}{h}^2(3-h).$$

• Calculer $V(2)$ et vérifier qu'on retrouve le volume d'une boule de rayon $1$. Calculer $V(1)$ et commenter.
• Montrer que $V$ est strictement croissante sur $[0;2]$.
• Montrer que l'équation $V(h)=\frac{\pi }{3}$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0;2]$, et l'interpréter.
• Combien d'étapes de dichotomie, à partir de $[0;2]$, garantissent un encadrement d'amplitude au plus $0,01$ ? Mener ces étapes, et conclure.