Retrouver une fonction à partir de ses asymptotes (agronomie)

Retrouver une fonction à partir de ses asymptotes (agronomie).

Le rendement d'une parcelle, en tonnes par hectare, en fonction de la quantité $x$ d'engrais épandue (en centaines de kg par hectare), est modélisé par

$$R(x)=\frac{ax+b}{x+c},x\ge 0,$$

où $a$, $b$, $c$ sont des réels, $c>0$. On sait que : sans engrais, le rendement est de $1$ t/ha ; avec $2$ centaines de kg, il est de $3$ t/ha ; et, si l'on augmente indéfiniment l'engrais, le rendement plafonne à $5$ t/ha.

• Exprimer la limite de $R$ en $+\infty$ en fonction de $a$, $b$, $c$. En déduire $a$.
• Déterminer $b$ et $c$.
• Montrer que $R$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$.
• Quelle quantité d'engrais permet d'atteindre $4,5$ t/ha ?