Une concentration résiduelle — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 2)

Une concentration résiduelle

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Une concentration résiduelle.

Un patient sous traitement de fond reçoit une dose supplémentaire. La concentration du principe actif dans son sang, en mg $\cdot$ L $^{- 1}$ , est modélisée par

$C (t) = 0, 4 + 5 e^{- 0, 2 t}, t \geq 0 (en heures) .$

Calculer $C (0)$ .
Déterminer $t \to + \infty lim C (t)$ et interpréter.
La concentration $0, 4$ est-elle atteinte ? Justifier.
Calculer $C (24)$ et $C (48)$ , arrondis au millième. Commenter.

Corrigé

$C (0) = 0, 4 + 5 e^{0} = 0, 4 + 5 = 5, 4$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ .

Limite en $+ \infty$ : lorsque $t \to + \infty$ , l'exposant $- 0, 2 t$ tend vers $- \infty$ ; or $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ , donc $e^{- 0, 2 t} \to 0$ , puis $5 e^{- 0, 2 t} \to 0$ et enfin

$t \to + \infty lim C (t) = 0, 4.$

La droite $y = 0, 4$ est asymptote horizontale : la dose supplémentaire s'élimine, et il subsiste la concentration entretenue par le traitement de fond.

Non. Pour tout $t$ , $e^{- 0, 2 t} > 0$ , donc

$C (t) - 0, 4 = 5 e^{- 0, 2 t} > 0.$

La concentration reste strictement au-dessus de $0, 4$ . Une asymptote est une tendance, pas un niveau atteint : c'est l'erreur classique à ne pas commettre.

$C (24) = 0, 4 + 5 e^{- 4, 8} \approx 0, 441$ et $C (48) = 0, 4 + 5 e^{- 9, 6} \approx 0, 400$ .

Au bout de deux jours, l'écart au plateau est inférieur à un demi-millième : le régime résiduel est atteint en pratique, alors qu'il ne l'est jamais en théorie.