L'ordre des quantifications

L'ordre des quantifications. Comparer, dans chaque cas, les deux propositions, dire laquelle est vraie et le justifier.

• (a) « Pour tout réel $A>0$, il existe un entier $N$ tel que $e^N>A$. » ; (b) « Il existe un entier $N$ tel que, pour tout réel $A>0$, $e^N>A$. »
• (a) « Pour tout réel $x>0$, il existe un entier $n\ge 1$ tel que $\frac{1}{n}<x$. » ; (b) « Il existe un entier $n\ge 1$ tel que, pour tout réel $x>0$, $\frac{1}{n}<x$. »
• Pour une fonction $f$ continue sur $[a;b]$, le théorème des valeurs intermédiaires dit : « pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$ ». Que dirait la phrase obtenue en échangeant les deux quantifications ? Est-elle vraie pour $f(x)=x$ sur $[0;1]$ ?
• Que retenir ?