mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 20 · Application directe du cours

Le complémentaire et le « au moins un »

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 1 (application)

Énoncé

Le complémentaire et le « au moins un ».

Dans un foyer de cinq personnes, chacune est atteinte avec la probabilité $0, 4$ , indépendamment des autres ; $X$ désigne le nombre de personnes atteintes (chapitre 8).

Écrire l'événement « au moins une personne est atteinte » à l'aide de $X$ , puis son contraire.
En déduire $P (X \geq 1)$ , sachant que $P (X = 0) = 0, 6^{5} = 0, 07776$ .
Écrire « au plus une personne est atteinte » à l'aide de $\cup$ .

Corrigé

L'événement est $(X \geq 1)$ . Son contraire est $(X \geq 1) = (X = 0)$ : « aucune personne n'est atteinte ». C'est la négation de « au moins un » — et c'est bien « aucun », pas « toutes ».
Passer par le contraire, comme toujours avec un « au moins » :

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 07776 = 0, 92224.$

« Au plus une » signifie « zéro ou une », donc l'événement est $(X = 0) \cup (X = 1)$ . Ces deux événements étant incompatibles, $P ((X = 0) \cup (X = 1)) = P (X = 0) + P (X = 1)$ , sans terme correctif.

Le réflexe « au moins un $\Rightarrow$ je passe au contraire » n'est rien d'autre que l'usage du complémentaire : $P (A) = 1 - P (A)$ .

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