Traduire des phrases de probabilité

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Traduire des phrases de probabilité.

On reprend l'exemple du chapitre 16 : une boîte de réception où $P (I) = 0, 20$ pour l'événement $I$ « le courriel est indésirable », $P_{I} (G) = 0, 60$ et $P_{I} (G) = 0, 05$ pour l'événement $G$ « le courriel contient le mot gratuit ».

Traduire en langage ensembliste : (a) « le courriel est indésirable et contient le mot gratuit » ; (b) « le courriel est légitime » ; (c) « le courriel est indésirable ou contient le mot gratuit ».
Calculer $P (I \cap G)$ , puis $P (G)$ .
Calculer $P (I \cup G)$ .

Corrigé

(a) $I \cap G$ ; (b) $I$ ; (c) $I \cup G$ — et ce « ou » est inclusif : un courriel indésirable contenant le mot gratuit y figure.
Intersection par la conditionnelle :

$P (I \cap G) = P (I) P_{I} (G) = 0, 20 \times 0, 60 = 0, 12.$

Probabilités totales, en partitionnant par $I$ et $I$ :

$P (G) = P (I) P_{I} (G) + P (I) P_{I} (G) = 0, 12 + 0, 80 \times 0, 05 = 0, 12 + 0, 04 = 0, 16.$

Réunion, avec le terme correctif du « ou » inclusif :

$P (I \cup G) = P (I) + P (G) - P (I \cap G) = 0, 20 + 0, 16 - 0, 12 = 0, 24.$

Sans le terme $- P (I \cap G)$ , on aurait trouvé $0, 36$ : les $12 %$ de courriels à la fois indésirables et contenant le mot auraient été comptés deux fois.

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