Deux limites déduites d'une seule

Deux limites déduites d'une seule.

On admet, comme dans le cours, que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

• En posant $X=\sqrt{x}$, montrer que $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=2\frac{\ln X}{X}$, puis déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.
• En posant $X=\frac{1}{x}$, déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$.
• Une ville voit sa population, en milliers d'habitants, croître selon $P(t)=50+3\sqrt{t}$, et le nombre de ses entreprises, en milliers, selon $E(t)=2+\ln (1+t)$, $t$ étant en années. Que devient, à très long terme, le nombre d'entreprises par habitant ? On admettra que $\frac{\ln (1+t)}{\sqrt{t}}$ a la même limite que $\frac{\ln t}{\sqrt{t}}$.