Doubler un capital, et la règle des 70 — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 3)

Doubler un capital, et la règle des 70

La fonction logarithme népérien · niveau 2

Énoncé

Doubler un capital, et la règle des 70.

Un capital $C_{0}$ est placé au taux annuel $t$ , à intérêts composés : au bout de $n$ années, $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ .

Exprimer le nombre d'années nécessaires pour doubler le capital.
Calculer ce nombre pour $t = 3, 5 %$ , et vérifier.
Les financiers disent : « divisez $70$ par le taux exprimé en pourcentage ». Justifier cette règle.
La tester à $2 %$ et à $7 %$ , et dire ce qu'elle vaut.

Corrigé

Résolution : comme $C_{0} > 0$ ,

$C_{0} (1 + t)^{n} \geq 2 C_{0} ⟺ (1 + t)^{n} \geq 2 ⟺ n ln (1 + t) \geq ln 2.$

Ici $1 + t > 1$ , donc $ln (1 + t) > 0$ : en divisant, l'inégalité garde son sens — contrairement au cas d'une concentration qui décroît, où la raison était inférieure à $1$ . D'où

$n \geq \frac{ln 2}{ln ( 1 + t )} .$

Pour $t = 0, 035$ : $n \geq \frac{0 , 6931}{ln 1 , 035} \approx \frac{0 , 6931}{0 , 03440} \approx 20, 15$ , donc $n = 21$ ans. Vérification : $1, 03 5^{20} \approx 1, 990 < 2$ et $1, 03 5^{21} \approx 2, 059 \geq 2$ .
Pour un taux petit, $ln (1 + t)$ est proche de $t$ : la tangente à la courbe de $ln$ au point d'abscisse $1$ a pour pente $ln^{'} (1) = 1$ et pour équation $y = x - 1$ , si bien que $ln (1 + t) \approx t$ . Alors

$n \approx \frac{ln 2}{t} \approx \frac{0 , 693}{t} = \frac{69 , 3}{100 t} \approx \frac{70}{taux en %} .$

À $2 %$ : la règle annonce $35$ ans ; le calcul exact donne $35, 003$ , donc $36$ ans — la règle passe à un cheveu ( $1, 0 2^{35} \approx 1, 99989$ , il manque presque rien). À $7 %$ : la règle annonce $10$ ans, le calcul exact $10, 24$ , donc $11$ ans. La règle des $70$ donne le bon ordre de grandeur et se dégrade quand le taux grandit, puisque $ln (1 + t)$ s'écarte alors de $t$ . Elle sert à estimer de tête, jamais à conclure.