Doubler un capital, et la règle des 70

• Résolution : comme $C_0>0$,

$$C_0(1+t{)}^n\ge 2C_0⟺(1+t{)}^n\ge 2⟺n\ln (1+t)\ge \ln 2.$$

Ici $1+t>1$, donc $\ln (1+t)>0$ : en divisant, l'inégalité garde son sens — contrairement au cas d'une concentration qui décroît, où la raison était inférieure à $1$. D'où

$$n\ge \frac{\ln 2}{\ln (1+t)}.$$

• Pour $t=0,035$ : $n\ge \frac{0,6931}{\ln 1,035}\approx \frac{0,6931}{0,03440}\approx 20,15$, donc $n=21$ ans. Vérification : $1,035^{20}\approx 1,990<2$ et $1,035^{21}\approx 2,059\ge 2$.
• Pour un taux petit, $\ln (1+t)$ est proche de $t$ : la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ a pour pente ${\ln }^{\prime }(1)=1$ et pour équation $y=x-1$, si bien que $\ln (1+t)\approx t$. Alors

$$n\approx \frac{\ln 2}{t}\approx \frac{0,693}{t}=\frac{69,3}{100t}\approx \frac{70}{\text{taux en \%}}.$$

• À $2\%$ : la règle annonce $35$ ans ; le calcul exact donne $35,003$, donc $36$ ans — la règle passe à un cheveu ($1,02^{35}\approx 1,99989$, il manque presque rien). À $7\%$ : la règle annonce $10$ ans, le calcul exact $10,24$, donc $11$ ans. La règle des $70$ donne le bon ordre de grandeur et se dégrade quand le taux grandit, puisque $\ln (1+t)$ s'écarte alors de $t$. Elle sert à estimer de tête, jamais à conclure.