La demi-vie d'un médicament — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 3)

La demi-vie d'un médicament

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

La demi-vie d'un médicament.

La concentration sanguine d'un médicament A diminue de $15 %$ par heure ; celle d'un médicament B, de $30 %$ par heure. On appelle demi-vie la durée au bout de laquelle il ne reste que la moitié de la dose administrée.

Exprimer la demi-vie de chaque médicament, puis la calculer.
Cette demi-vie dépend-elle de la dose administrée ?
Au bout de combien de temps ne reste-t-il que $10 %$ du médicament A ?

Corrigé

Modèle : si $C_{0}$ est la dose initiale, la concentration après $t$ heures est $C (t) = C_{0} q^{t}$ , avec $q_{A} = 0, 85$ et $q_{B} = 0, 70$ . Résolution : on cherche $T$ tel que $C (T) = \frac{C _{0}}{2}$ , c'est-à-dire

$q^{T} = \frac{1}{2} ⟺ T ln q = ln (\frac{1}{2}) = - ln 2 ⟺ T = \frac{- ln 2}{ln q} .$

Comme $0 < q < 1$ , $ln q < 0$ : le quotient est bien positif.

$T_{A} = \frac{- ln 2}{ln 0 , 85} \approx \frac{0 , 693}{0 , 163} \approx 4, 27 h, T_{B} = \frac{- ln 2}{ln 0 , 70} \approx \frac{0 , 693}{0 , 357} \approx 1, 94 h .$

Soit environ $4$ h $16$ min pour A et $1$ h $57$ min pour B.

Vérification : la dose $C_{0}$ s'est simplifiée dès la première ligne. La demi-vie ne dépend donc pas de la dose — c'est la signature d'une décroissance géométrique, et c'est ce qui rend la notion utilisable en clinique.
Résolution : $0, 8 5^{t} = 0, 10$ donne $t = \frac{ln 0 , 10}{ln 0 , 85} \approx \frac{- 2 , 303}{- 0 , 163} \approx 14, 2$ h, soit environ $14$ h $10$ min — un peu plus de trois demi-vies, ce qui est cohérent puisque $(\frac{1}{2})^{3} = 0, 125$ et $(\frac{1}{2})^{4} = 0, 0625$ .

La demi-vie est une durée caractéristique du médicament, pas de la prescription.