La demi-vie d'un médicament

• Modèle : si $C_0$ est la dose initiale, la concentration après $t$ heures est $C(t)=C_0{q}^t$, avec $q_A=0,85$ et $q_B=0,70$. Résolution : on cherche $T$ tel que $C(T)=\frac{C_0}{2}$, c'est-à-dire

$$q^T=\frac{1}{2}⟺T\ln q=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2⟺T=\frac{-\ln 2}{\ln q}.$$

Comme $0<q<1$, $\ln q<0$ : le quotient est bien positif.

$$T_A=\frac{-\ln 2}{\ln 0,85}\approx \frac{0,693}{0,163}\approx 4,27\text{h},T_B=\frac{-\ln 2}{\ln 0,70}\approx \frac{0,693}{0,357}\approx 1,94\text{h}.$$

Soit environ $4$ h $16$ min pour A et $1$ h $57$ min pour B.

• Vérification : la dose $C_0$ s'est simplifiée dès la première ligne. La demi-vie ne dépend donc pas de la dose — c'est la signature d'une décroissance géométrique, et c'est ce qui rend la notion utilisable en clinique.
• Résolution : $0,85^t=0,10$ donne $t=\frac{\ln 0,10}{\ln 0,85}\approx \frac{-2,303}{-0,163}\approx 14,2$ h, soit environ $14$ h $10$ min — un peu plus de trois demi-vies, ce qui est cohérent puisque ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=0,125$ et ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=0,0625$.

La demi-vie est une durée caractéristique du médicament, pas de la prescription.