Magnitude et énergie d'un séisme — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 3)

Magnitude et énergie d'un séisme

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

Magnitude et énergie d'un séisme.

La magnitude de moment $M$ d'un séisme est reliée à l'énergie $E$ qu'il libère (en joules) par

$M = \frac{2}{3} \frac{ln E - ln E _{0}}{ln 10}, avec E_{0} = 1 0^{4, 8} J .$

Exprimer $E$ en fonction de $M$ .
Par combien l'énergie est-elle multipliée quand la magnitude augmente d'une unité ? de deux unités ?
Le séisme de Tôhoku (2011) avait une magnitude $9, 1$ , celui d'Haïti (2010) une magnitude $7, 1$ . Comparer les énergies libérées.
De combien faut-il augmenter la magnitude pour doubler l'énergie ?

Résolution : $ln E - ln E_{0} = ln (\frac{E}{E _{0}})$ , donc l'égalité s'écrit $ln (\frac{E}{E _{0}}) = \frac{3}{2} M ln 10$ , et en passant à l'exponentielle :

$E = E_{0} e^{\frac{3}{2} M l n 10} = E_{0} \times 1 0^{1, 5 M} .$

$\frac{E ( M + 1 )}{E ( M )} = 1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ ; et pour deux unités, $1 0^{3} = 1000$ .
$\frac{E ( 9 , 1 )}{E ( 7 , 1 )} = 1 0^{1, 5 \times 2} = 1000$ : le séisme de Tôhoku a libéré mille fois plus d'énergie que celui d'Haïti.
Résolution : on cherche $δ$ tel que $1 0^{1, 5 δ} = 2$ , c'est-à-dire $1, 5 δ ln 10 = ln 2$ , d'où

$δ = \frac{ln 2}{1 , 5 ln 10} \approx \frac{0 , 693}{3 , 454} \approx 0, 20.$

Deux dixièmes de magnitude doublent l'énergie : une échelle logarithmique ne se lit jamais comme une échelle ordinaire.