Quand la concentration passe-t-elle sous le seuil ?

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

Quand la concentration passe-t-elle sous le seuil ?

Un antibiotique est injecté à la dose initiale $C_{0} = 10$ mg/L. La concentration sanguine diminue de $25 %$ par heure, et le traitement n'est efficace que tant que la concentration reste supérieure ou égale à $1, 5$ mg/L.

Exprimer la concentration $C_{n}$ après $n$ heures.
Déterminer, à l'aide du logarithme, le premier entier $n$ tel que $C_{n} \leq 1, 5$ .
Vérifier par le calcul de $C_{6}$ et $C_{7}$ .
Qu'obtiendrait-on en oubliant de retourner l'inégalité ?

Corrigé

$C_{n} = 10 \times 0, 7 5^{n}$ , pour $n \in N$ .
Résolution : comme $10 > 0$ ,

$10 \times 0, 7 5^{n} \leq 1, 5 ⟺ 0, 7 5^{n} \leq 0, 15 ⟺ n ln 0, 75 \leq ln 0, 15,$

la dernière équivalence par stricte croissance de $ln$ (les deux membres sont strictement positifs). On divise alors par $ln 0, 75 \approx - 0, 288$ , qui est négatif : l'inégalité change de sens.

$n \geq \frac{ln 0 , 15}{ln 0 , 75} \approx \frac{- 1 , 897}{- 0 , 288} \approx 6, 59.$

Le premier entier convenable est donc $n = 7$ .

Vérification : $C_{6} = 10 \times 0, 7 5^{6} \approx 1, 78 > 1, 5$ et $C_{7} = 10 \times 0, 7 5^{7} \approx 1, 33 \leq 1, 5$ . Le rang $7$ est bien le premier à passer sous le seuil : il faut réinjecter au bout de sept heures.
En oubliant le retournement, on écrirait $n \leq 6, 59$ , donc « $n \leq 6$ » : la concentration serait sous le seuil dès la première heure, alors qu'elle vaut $10$ mg/L au départ. L'absurdité du résultat est ici le meilleur garde-fou.