Retrouver un taux de croissance à partir de deux relevés (écologie)

Retrouver un taux de croissance à partir de deux relevés (écologie).

Une algue invasive colonise le fond d'un lac. On modélise la surface colonisée, en m${}^2$, $t$ années après sa découverte, par $S(t)=S_0{e}^{kt}$, avec $S_0>0$ et $k>0$. On a relevé $S(2)=1500$ et $S(5)=4000$.

• Calculer $\frac{S(5)}{S(2)}$ de deux façons et en déduire la valeur exacte de $k$, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
• Déterminer $S_0$ (à l'unité près). Interpréter.
• Calculer le temps de doublement de la surface colonisée.
• Le lac a un fond de $10000$ m${}^2$. Quand le modèle prévoit-il qu'il soit entièrement colonisé ?