Compter les solutions sur le tableau

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 — Compléments sur la dérivation

Énoncé

Compter les solutions sur le tableau.

Après un rejet organique dans une rivière, la teneur en oxygène dissous, en mg/L, est modélisée sur $[0; 20]$ par

$f (t) = 9 - 6 t e^{- 0, 5 t}, t en jours.$

Calculer $f^{'} (t)$ , la factoriser, et dresser le tableau de variation.
Combien l'équation $f (t) = k$ a-t-elle de solutions pour $k = 4$ ? pour $k = 6$ ? pour $k = 9$ ?
Les truites ne survivent pas en dessous de $5$ mg/L. La rivière redevient-elle vivable ?

Corrigé

Dérivée et signe : en dérivant le produit $6 t e^{- 0, 5 t}$ ,

$f^{'} (t) = - (6 e^{- 0, 5 t} + 6 t \times (- 0, 5) e^{- 0, 5 t}) = - 6 e^{- 0, 5 t} (1 - 0, 5 t) = 3 (t - 2) e^{- 0, 5 t} .$

$f^{'}$ est du signe de $t - 2$ . Avec $f (0) = 9$ , $f (2) = 9 - \frac{12}{e} \approx 4, 59$ et $f (20) = 9 - 120 e^{- 10} \approx 8, 995$ :

$t f^{'} (t) f 09 - ↘ 20 9 - \frac{12}{e} + ↗ 20 9 - \frac{120}{e ^{10}}$

Comptage, ligne par ligne (le théorème des valeurs intermédiaires est admis) :

$k = 4$ : $4$ est en dessous du minimum $\approx 4, 59$ — la teneur ne descend jamais si bas : aucune solution.
$k = 6$ : $6$ est compris entre $4, 59$ et $9$ sur la branche décroissante, et entre $4, 59$ et $8, 995$ sur la branche croissante : une solution sur chacune, donc deux solutions.
$k = 9$ : sur $[0; 2]$ , $f$ décroît de $9$ à $4, 59$ , ce qui donne la seule solution $t = 0$ ; sur $[2; 20]$ , $f$ ne remonte que jusqu'à $8, 995 < 9$ : une seule solution, $t = 0$ .

Seuil de survie : le minimum $9 - \frac{12}{e} \approx 4, 59$ est inférieur à $5$ , et les deux valeurs extrêmes du tableau lui sont supérieures : l'équation $f (t) = 5$ a donc exactement deux solutions, $t \approx 1, 24$ et $t \approx 3, 02$ jours.

La rivière passe sous le seuil vital pendant environ $1, 8$ jour, puis se réoxygène : elle redevient vivable, à condition que le rejet ne se répète pas.

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