Élasticité et recette maximale — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 4)

Élasticité et recette maximale

Compléments sur la dérivation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Élasticité et recette maximale.

Une revue vend chaque mois $D (p) = 800 e^{- 0, 05 p}$ abonnements au prix $p$ (en euros), pour $0 \leq p \leq 60$ . Sa recette mensuelle est $R (p) = p D (p)$ .

Calculer $R^{'} (p)$ , la factoriser, et déterminer le prix qui maximise la recette.
Vérifier que $ln D (p) = ln 800 - 0, 05 p$ . En déduire $\frac{D ^{'} ( p )}{D ( p )}$ , puis l'élasticité $e (p) = \frac{p D ^{'} ( p )}{D ( p )}$ .
Que vaut l'élasticité au prix optimal ? Interpréter.

Corrigé

Recette : $R (p) = 800 p e^{- 0, 05 p}$ , produit de $p$ et d'une exponentielle composée :

$R^{'} (p) = 800 e^{- 0, 05 p} + 800 p \times (- 0, 05) e^{- 0, 05 p} = 800 e^{- 0, 05 p} (1 - 0, 05 p) = 40 (20 - p) e^{- 0, 05 p} .$

L'exponentielle étant positive, $R^{'}$ est du signe de $20 - p$ : $R$ croît sur $[0; 20]$ , décroît sur $[20; 60]$ .

$p R^{'} (p) R 00 + ↗ 200 \frac{16 000}{e} - ↘ 60 48000 e^{- 3}$

Le prix optimal est $p = 20$ euros, pour une recette $R (20) = \frac{16 000}{e} \approx 5886$ euros et $D (20) = \frac{800}{e} \approx 294$ abonnements.

Passage au logarithme : $D (p) > 0$ , et $ln D (p) = ln 800 + ln e^{- 0, 05 p} = ln 800 - 0, 05 p$ . En dérivant ce logarithme, de la forme $ln u$ :

$(ln D)^{'} (p) = \frac{D ^{'} ( p )}{D ( p )} = - 0, 05, donc e (p) = p \times \frac{D ^{'} ( p )}{D ( p )} = - 0, 05 p .$

Au prix optimal : $e (20) = - 1$ . L'élasticité vaut exactement $- 1$ : une hausse de $1 %$ du prix fait perdre $1 %$ des abonnés. Les deux effets — plus cher, mais moins nombreux — se compensent exactement, et c'est précisément là que la recette est maximale.