Élimination d'un médicament — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 4)

Élimination d'un médicament

Compléments sur la dérivation · niveau 1 (application)

Énoncé

Élimination d'un médicament.

Après une injection, la concentration d'un antibiotique dans le sang, en mg/L, est modélisée par

$C (t) = 15 e^{- 0, 3 t}, t \geq 0 en heures.$

Calculer $C^{'} (t)$ et en déduire le sens de variation de $C$ .
Quelle est la vitesse d'élimination à l'instant de l'injection ?
Calculer la demi-vie du produit, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle la moitié a disparu.
Le médicament n'est plus actif en dessous de $3$ mg/L. À partir de quand faut-il réinjecter ?

$C^{'} (t) = 15 \times (- 0, 3) e^{- 0, 3 t} = - 4, 5 e^{- 0, 3 t} .$

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc $C^{'} (t) < 0$ : $C$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ .

Vitesse initiale : $C^{'} (0) = - 4, 5$ . La concentration chute d'environ $4, 5$ mg/L par heure au début — puis de moins en moins vite, puisque $∣ C^{'} (t) ∣$ diminue.
Demi-vie : on résout $C (t) = 7, 5$ , soit $e^{- 0, 3 t} = 0, 5$ , c'est-à-dire $- 0, 3 t = - ln 2$ :

$t = \frac{ln 2}{0 , 3} = \frac{10 ln 2}{3} \approx 2, 31 h,$

soit environ $2$ h $19$ min.

$t = \frac{ln 5}{0 , 3} = \frac{10 ln 5}{3} \approx 5, 36 h.$

Comme $C$ est strictement décroissante, $C (t) < 3$ exactement pour $t > \frac{10 l n 5}{3}$ .

Il faut réinjecter au bout d'environ $5$ h $22$ min.