La dose d'azote qui maximise le rendement — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 4)

La dose d'azote qui maximise le rendement

Compléments sur la dérivation · niveau 1 (application)

Énoncé

La dose d'azote qui maximise le rendement.

Le rendement d'une parcelle de blé, en quintaux par hectare, dépend de la dose $d$ d'azote apportée (en kg/ha) selon

$R (d) = 1, 2 d e^{- 0, 005 d}, 0 \leq d \leq 400.$

Calculer $R^{'} (d)$ et la factoriser. Dresser le tableau de variation.
Quelle dose maximise le rendement, et que vaut alors ce rendement ?
Comparer $R (150)$ et $R (250)$ . Que conseiller à l'agriculteur ?

Corrigé

Dérivée : produit de $1, 2 d$ et de $e^{- 0, 005 d}$ :

$R^{'} (d) = 1, 2 e^{- 0, 005 d} + 1, 2 d \times (- 0, 005) e^{- 0, 005 d} = 1, 2 e^{- 0, 005 d} (1 - 0, 005 d),$

soit, en faisant entrer le facteur constant dans la parenthèse,

$R^{'} (d) = 0, 006 (200 - d) e^{- 0, 005 d} .$

$R^{'}$ est donc du signe de $200 - d$ :

$d R^{'} (d) R 00 + ↗ 2000 \frac{240}{e} - ↘ 400 480 e^{- 2}$

Optimum : $d = 200$ kg/ha, pour $R (200) = \frac{240}{e} \approx 88, 3$ quintaux par hectare.
Autour de l'optimum :

$R (150) = 180 e^{- 0, 75} \approx 85, 0 et R (250) = 300 e^{- 1, 25} \approx 86, 0.$

Le maximum est très plat : en descendant de $200$ à $150$ kg/ha, on perd moins de $4 %$ de rendement pour $25 %$ d'azote en moins. Économiquement et écologiquement, la dose optimale n'est pas celle qui maximise le rendement.